根据刑事申诉立案程序，当一名被告认为其受到的判决存在不公正或错误时，可以向更高一级的法院提起申诉。刑事申诉立案的程序通常包括以下几个步骤：
被告需要递交一份正式的刑事申诉书，其中要详细说明被告认为原判存在的问题，并提供相应的证据。申诉书应当包括被告的基本信息、原审法院及案件信息、申诉事由、事实与理由、具体请求等内容。
原审法院会对申诉书进行审查，评估申诉的合法性和必要性。如果原审法院认为申诉没有合理依据，可能会拒绝受理申诉；反之，如果原审法院认为申诉有一定依据，会将案件移送至更高一级法院进行审理。
接着，更高一级法院会对申诉案件展开审理，将重新审查原审案件的相关证据和法律适用。法院可能会要求被告提供进一步的证据或解释，也可能会进行庭审程序，听取双方当事人的陈述和辩论。
最后，更高一级法院会作出裁定，决定是否维持原判或对原判做出修改。如果被告的申诉被法院接受，可能会有机会获得更公正的判决；反之，如果申诉被驳回，原判也将继续执行。
在刑事申诉立案的过程中，成功的几率取决于多个因素。申诉人提出的申诉理由是否充分、合理，是否能够提供足够的证据来支持自己的主张。法院对申诉案件的审理程序是否公正、透明，是否充分保障被告的申诉权利。最后，案件本身的事实与法律适用是否存在明显的错误或瑕疵，也将直接影响到申诉的成败。
从法律的角度来看，刑事申诉立案的相关法律依据主要包括《中华人民共和国刑事诉讼法》等法律法规。根据该法，被告有权提起刑事申诉，并有权要求重新审理案件；法院则有义务对申诉案件进行审查和审理，保障当事人的诉讼权利。
因此，在进行刑事申诉立案时，申诉人需要遵循法律程序，提供充分的证据和合理的申诉理由，同时也需要对法院的审理程序进行监督和维护自己的合法权益。只有在这些条件都得到充分满足的情况下，刑事申诉才可能取得成功。